24. Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Найдите длину высоты, проведённой к гипотенузе.

Решение:

Пусть \( a = 10 \) и \( b = 24 \) — катеты прямоугольного треугольника.

Найдем длину гипотенузы \( c \) по теореме Пифагора:

\( c^2 = a^2 + b^2 \)

\( c^2 = 10^2 + 24^2 \)

\( c^2 = 100 + 576 \)

\( c^2 = 676 \)

\( c = \sqrt{676} = 26 \)

Площадь прямоугольного треугольника \( S \) можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2}ab \)

2. Через гипотенузу и высоту \( h \), проведённую к гипотенузе: \( S = \frac{1}{2}ch \)

Приравняем оба выражения для площади:

\( \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch \)

\( ab = ch \)

Выразим высоту \( h \):

\( h = \frac{ab}{c} \)

Подставим известные значения:

\( h = \frac{10 \cdot 24}{26} \)

\( h = \frac{240}{26} \)

Сократим дробь на 2:

\( h = \frac{120}{13} \)

Ответ: \(\frac{120}{13}\).