25. На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку K. Докажите, что сумма площадей треугольников ВКС и AKD равна половине площади трапеции.

Решение:

Пусть \( AD = a \) и \( BC = b \) — основания трапеции.

Пусть \( h \) — высота трапеции.

Средняя линия трапеции \( MN = \frac{a+b}{2} \).

Пусть \( K \) — точка на средней линии. Обозначим высоту от \( K \) до \( BC \) как \( h_1 \) и высоту от \( K \) до \( AD \) как \( h_2 \).

Так как \( K \) лежит на средней линии, то \( h_1 = h_2 = \frac{h}{2} \).

Площадь треугольника \( BKC \) равна \( S_{BKC} = \frac{1}{2} · BC · h_1 = \frac{1}{2} b \frac{h}{2} = \frac{bh}{4} \).

Площадь треугольника \( AKD \) равна \( S_{AKD} = \frac{1}{2} · AD · h_2 = \frac{1}{2} a \frac{h}{2} = \frac{ah}{4} \).

Сумма площадей треугольников \( BKC \) и \( AKD \) равна:

\( S_{BKC} + S_{AKD} = \frac{bh}{4} + \frac{ah}{4} = \frac{h(a+b)}{4} \).

Площадь трапеции \( ABCD \) равна \( S_{ABCD} = \frac{a+b}{2} · h \).

Половина площади трапеции равна:

\( \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} · \frac{a+b}{2} · h = \frac{h(a+b)}{4} \).

Таким образом, \( S_{BKC} + S_{AKD} = \frac{h(a+b)}{4} = \frac{1}{2} S_{ABCD} \).

Что и требовалось доказать.