23. Постройте график функции y = (x² - x)|x| / (x - 1) и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

1. Рассмотрим функцию \( y = \frac{(x^2 - x)|x|}{x - 1} \).
2. Вынесем \( x \) за скобки в числителе: \( y = \frac{x(x - 1)|x|}{x - 1} \).
3. Область определения функции: \( x \neq 1 \).
4. Сократим \( (x - 1) \): \( y = x|x| \) при \( x \neq 1 \).
5. Рассмотрим два случая для \( |x| \):
• Случай 1: \( x \ge 0 \). Тогда \( |x| = x \). Функция принимает вид \( y = x \cdot x = x^2 \).
• Случай 2: \( x < 0 \). Тогда \( |x| = -x \). Функция принимает вид \( y = x \cdot (-x) = -x^2 \).
6. Итак, функция равна:
• \( y = -x^2 \) при \( x < 0 \)
• \( y = x^2 \) при \( x \ge 0 \) и \( x \neq 1 \)
7. Построим график:
• При \( x < 0 \), это часть параболы \( y = -x^2 \), ветви направлены вниз.
• При \( x \ge 0 \) и \( x \neq 1 \), это часть параболы \( y = x^2 \), ветви направлены вверх.
• В точке \( x=1 \) функция не определена, поэтому там будет «выколотая» точка.
8. График функции \( y = x^2 \) при \( x = 1 \) равен \( 1^2 = 1 \). Следовательно, точка \( (1, 1) \) будет выколота.
9. График функции \( y = x|x| \) выглядит как две параболы, соединённые в начале координат.
10. Теперь рассмотрим прямую \( y = m \). Эта прямая горизонтальна.
11. Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком функции \( y = x|x| \) (с учётом выколотой точки).
12. График функции \( y = x^2 \) для \( x > 0 \) начинается от \( (0,0) \) и идёт вверх. График \( y = -x^2 \) для \( x < 0 \) также начинается от \( (0,0) \) и идёт вверх (в сторону отрицательных \( x \)).
13. Минимальное значение функции \( y = x|x| \) равно 0 (в точке \( x=0 \)).
14. Прямая \( y = m \) будет иметь общие точки со всеми значениями \( m \ge 0 \), кроме \( m=1 \) (из-за выколотой точки).
15. Прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m < 0 \).
16. Вспомним, что \( y = x^2 \) для \( x \ge 0 \) и \( y = -x^2 \) для \( x < 0 \).
17. Значения \( y = x^2 \) для \( x \ge 0 \) всегда \( \ge 0 \).
18. Значения \( y = -x^2 \) для \( x < 0 \) всегда \( < 0 \).
19. Таким образом, при \( m < 0 \) прямая \( y = m \) будет пересекать только часть графика \( y = -x^2 \) (где \( x < 0 \)).
20. При \( m > 1 \) прямая \( y = m \) будет пересекать обе ветви параболы.
21. При \( 0 \le m < 1 \) прямая \( y = m \) будет пересекать ветвь \( y = x^2 \) (при \( x \ge 0 \)).
22. При \( m=0 \) прямая \( y=0 \) пересекает график в точке \( (0,0) \).
23. Прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m < 0 \).
24. Кроме того, надо учесть выколотую точку \( (1,1) \). Если \( m=1 \), то прямая \( y=1 \) пересечёт график в точке \( (-1, -(-1)^2) = (-1,-1) \) нет.
25. Прямая \( y = m \) будет иметь одну общую точку с графиком \( y = x^2 \) при \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \) для \( m > 0 \) и \( m \neq 1 \).
26. Прямая \( y = m \) будет иметь одну общую точку с графиком \( y = -x^2 \) для \( x < 0 \) для всех \( m < 0 \).
27. Когда \( m=1 \), прямая \( y=1 \) пересекает график \( y = x^2 \) в точке \( x=1 \) (которая выколота) и в точке \( x=-1 \) (где \( y=-(-1)^2 = -1 \)).
28. Прямая \( y=1 \) пересекает график \( y = x|x| \) только в точке \( x=-1 \) (то есть \( y = -(-1)^2 = -1 \) - это ошибка).
29. Давайте пересмотрим. График функции \( y = x|x| \) состоит из двух частей: \( y = x^2 \) для \( x \ge 0 \) (исключая \( x=1 \)) и \( y = -x^2 \) для \( x < 0 \).
30. Для \( x < 0 \), \( y = -x^2 \) принимает все отрицательные значения.
31. Для \( x \ge 0 \) и \( x \neq 1 \), \( y = x^2 \) принимает значения \( [0, ∞) \), но \( y \neq 1 \) (так как \( x=1 \) выколот).
32. Прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком, если \( m \) находится в промежутке значений, которые функция не принимает.
33. Функция не принимает отрицательных значений для \( x \ge 0 \).
34. Функция не принимает значение \( 1 \) при \( x=1 \).
35. Для \( x < 0 \), \( y = -x^2 \) принимает все отрицательные значения.
36. Для \( x \ge 0 \) и \( x \neq 1 \), \( y = x^2 \) принимает значения \( [0, 1) \cup (1, ∞) \).
37. Таким образом, диапазон значений функции: \( (-∞, 0) \cup [0, 1) \cup (1, ∞) \) = \( (-∞, 1) \cup (1, ∞) \).
38. Значение \( m=1 \) не принимается функцией.
39. Прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком, если \( m \) равно значению, которое функция не принимает.
40. График функции \( y = x|x| \) никогда не принимает отрицательных значений при \( x > 0 \).
41. Значения \( y \) для \( x \ge 0 \) это \( [0, 1) \cup (1, ∞) \).
42. Значения \( y \) для \( x < 0 \) это \( (-∞, 0) \).
43. Объединяя, получаем все \( y \), кроме \( y=1 \).
44. Значение \( m = 1 \) не будет иметь общей точки, потому что точка \( (1,1) \) выколота, а для \( x = -1 \) \( y = -(-1)^2 = -1 \).
45. Рассмотрим ещё раз. \( y = x|x| \).
46. Если \( x \ge 0 \), \( y = x^2 \). Эта часть графика начинается с \( (0,0) \) и идёт вверх, но точка \( (1,1) \) выколота.
47. Если \( x < 0 \), \( y = -x^2 \). Эта часть графика начинается с \( (0,0) \) и идёт вверх в сторону отрицательных \( x \).
48. Прямая \( y = m \) будет иметь общие точки с графиком, если \( m \) находится в диапазоне значений функции.
49. Диапазон значений для \( y = x^2 \) (при \( x \ge 0, x \neq 1 \)) это \( [0, 1) \cup (1, ∞) \).
50. Диапазон значений для \( y = -x^2 \) (при \( x < 0 \)) это \( (-∞, 0) \).
51. Объединённый диапазон значений функции: \( (-∞, 1) \cup (1, ∞) \).
52. Таким образом, прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m \) равно значению, которое функция не принимает.
53. Функция не принимает значение \( 1 \).
54. Следовательно, при \( m=1 \) прямая \( y = m \) не будет иметь общей точки с графиком.

Ответ: m = 1.