231. Медиана AM треугольника ABC равна половине стороны BC. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Если медиана AM равна половине стороны BC, то AM = BM = CM (где M - середина BC). Рассмотрим треугольник ABM. Так как AM = BM, то этот треугольник равнобедренный, и ∠BAM = ∠ABM. Рассмотрим треугольник AMC. Так как AM = CM, то этот треугольник равнобедренный, и ∠CAM = ∠ACM. Обозначим ∠BAM = ∠ABM = x, и ∠CAM = ∠ACM = y. Тогда, угол ∠BAC = ∠BAM + ∠CAM = x + y. Сумма углов треугольника ABC: ∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180°. Это равно x + y + x + y = 180. 2x + 2y = 180. x + y = 90. Так как ∠BAC = x + y = 90°, то треугольник ABC является прямоугольным.