23) log_0,5(3x+1) ≥ log_0,5(x-1)

Решение:

Логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма \( 0.5 \) меньше 1, при раскрытии неравенства знак меняется на противоположный. Также необходимо учесть ОДЗ:

\[ 3x+1 > 0 \implies x > -\frac{1}{3} \]\[ x-1 > 0 \implies x > 1 \]

Объединяя условия, получаем \( x > 1 \).

Переносим всё в одну сторону и приводим к общему знаменателю:

\[ \log_{0.5}(3x+1) - \log_{0.5}(x-1) \ge 0 \]\[ \log_{0.5}\left(\frac{3x+1}{x-1}\right) \ge 0 \]

По определению логарифма, \( 0 \) это \( \log_{0.5}(1) \).

Так как основание \( 0.5 < 1 \), то:

\[ \frac{3x+1}{x-1} \le 1 \]\[ \frac{3x+1}{x-1} - 1 \le 0 \]\[ \frac{3x+1 - (x-1)}{x-1} \le 0 \]\[ \frac{2x+2}{x-1} \le 0 \]

Решаем методом интервалов:

Числитель равен нулю при \( 2x+2 = 0 \implies x = -1 \).

Знаменатель равен нулю при \( x-1 = 0 \implies x = 1 \).

Получаем интервалы: \( (-\infty, -1], \; [-1, 1), \; (1, \infty) \).

Проверим знаки выражения \( \frac{2x+2}{x-1} \) на каждом интервале:

• При \( x < -1 \) (например, \( x=-2 \)): \( \frac{-4+2}{-2-1} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} > 0 \)
• При \( -1 < x < 1 \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{2+2}{0-1} = \frac{4}{-1} = -4 < 0 \)
• При \( x > 1 \) (например, \( x=2 \)): \( \frac{4+2}{2-1} = \frac{6}{1} = 6 > 0 \)

Неравенство \( \le 0 \) выполняется на интервале \( [-1, 1) \).

Учитывая ОДЗ \( x > 1 \), пересекаем \( [-1, 1) \) и \( (1, \infty) \). Решений нет.

Ответ: Решений нет.