№21. Решите задачу: a) В магазин привезли 32 кг конфет. Их разложили в пакеты и коробки, причем пакетов было на 16 меньше, чем коробок. В каждый пакет положили по 1,5 кг конфет, а в каждую коробку по 0,5 кг. Сколько всего пакетов и коробок для этого потребовалось? б) Патрульный катер плывет по реке, скорость течения которой 2 км/ч. За 6 ч по течению реки и 8 ч против течения катер проплыл 164 км. Сколько времени ему потребуется, чтобы проплыть 54 км по озеру, если он будет плыть с той же скоростью?

Решение:

а) Задача про конфеты:

Обозначим количество коробок через \( x \). Тогда количество пакетов будет \( x - 16 \).

Общий вес конфет, разложенных в пакеты: \( 1,5(x - 16) \) кг.

Общий вес конфет, разложенных в коробки: \( 0,5x \) кг.

Общий вес всех конфет: \( 1,5(x - 16) + 0,5x = 32 \)

1. Раскроем скобки: \( 1,5x - 24 + 0,5x = 32 \).
2. Приведём подобные слагаемые: \( 2x - 24 = 32 \).
3. Найдем \( x \): \( 2x = 32 + 24 \Rightarrow 2x = 56 \Rightarrow x = 28 \) (коробок).
4. Найдем количество пакетов: \( 28 - 16 = 12 \) (пакетов).
5. Общее количество пакетов и коробок: \( 28 + 12 = 40 \).

б) Задача про катер:

Обозначим собственную скорость катера через \( v \) км/ч.

Скорость катера по течению: \( v + 2 \) км/ч.

Скорость катера против течения: \( v - 2 \) км/ч.

Расстояние, пройденное по течению: \( 6(v + 2) \) км.

Расстояние, пройденное против течения: \( 8(v - 2) \) км.

Общее пройденное расстояние: \( 6(v + 2) + 8(v - 2) = 164 \)

1. Раскроем скобки: \( 6v + 12 + 8v - 16 = 164 \).
2. Приведём подобные слагаемые: \( 14v - 4 = 164 \).
3. Найдем \( v \): \( 14v = 164 + 4 \Rightarrow 14v = 168 \Rightarrow v = \frac{168}{14} = 12 \) км/ч.

   Собственная скорость катера равна 12 км/ч.

   Теперь нужно найти время, за которое катер проплывет 54 км по озеру с той же скоростью (то есть со своей собственной скоростью).

4. Время = Расстояние / Скорость: \( t = \frac{54 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 4,5 \text{ ч} \).

Ответ: а) 40 пакетов и коробок; б) 4,5 часа