21. Баржа прошла по течению реки 64 км и, повернув обратно, прошла еще 48 км, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Краткая запись:

• Расстояние по течению: \( S_1 = 64 \) км
• Расстояние против течения: \( S_2 = 48 \) км
• Общее время: \( T = 8 \) ч
• Скорость течения: \( v_{теч} = 5 \) км/ч
• Найти: Собственная скорость баржи \( v_{собств} \) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим собственную скорость баржи как \( v \).
2. Шаг 2: Запишем скорости движения по течению и против течения:
   Скорость по течению: \( v_1 = v + v_{теч} = v + 5 \)
   Скорость против течения: \( v_2 = v - v_{теч} = v - 5 \)
3. Шаг 3: Запишем время движения по течению и против течения:
   Время по течению: \( t_1 = rac{S_1}{v_1} = rac{64}{v+5} \)
   Время против течения: \( t_2 = rac{S_2}{v_2} = rac{48}{v-5} \)
4. Шаг 4: Составим уравнение, используя общее время: \( t_1 + t_2 = T \).
   \( rac{64}{v+5} + rac{48}{v-5} = 8 \)
5. Шаг 5: Решим полученное уравнение. Умножим обе части на \( (v+5)(v-5) \), чтобы избавиться от знаменателей:
   \( 64(v-5) + 48(v+5) = 8(v+5)(v-5) \)
   \( 64v - 320 + 48v + 240 = 8(v^2 - 25) \)
   \( 112v - 80 = 8v^2 - 200 \)
   Перенесем все в одну сторону:
   \( 8v^2 - 112v - 200 + 80 = 0 \)
   \( 8v^2 - 112v - 120 = 0 \)
   Разделим на 8:
   \( v^2 - 14v - 15 = 0 \)
6. Шаг 6: Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: \( v_1 + v_2 = 14 \) и \( v_1 × v_2 = -15 \).
   Подбираем корни: \( v_1 = 15 \) и \( v_2 = -1 \).
7. Шаг 7: Выбираем подходящий корень. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v = 15 \) км/ч.

Ответ: 15 км/ч