21. (3 балла) Решите систему уравнений: { x - y = 6 log₂ (2x + y) = 3 }

Решение:

Данная система состоит из линейного уравнения и логарифмического уравнения.

1. Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \):

\( x - y = 6 \) \( \implies \) \( y = x - 6 \).

2. Преобразуем второе уравнение:

\( \log_2 (2x + y) = 3 \)

По определению логарифма, это эквивалентно:

\( 2x + y = 2^3 \)

\( 2x + y = 8 \).

Условие существования логарифма: \( 2x + y > 0 \).

3. Подставим выражение для \( y \) из первого уравнения во второе:

\( 2x + (x - 6) = 8 \)

\( 3x - 6 = 8 \)

\( 3x = 14 \)

\( x = \frac{14}{3} \).

4. Найдем \( y \), подставив найденное значение \( x \) в выражение для \( y \):

\( y = x - 6 = \frac{14}{3} - 6 = \frac{14}{3} - \frac{18}{3} = -\frac{4}{3} \).

5. Проверим условие существования логарифма:

\( 2x + y = 2 \cdot \frac{14}{3} + \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{28}{3} - \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8 \).

Так как \( 8 > 0 \), условие выполняется.

Ответ: \( x = \frac{14}{3}, y = -\frac{4}{3} \).