19. (3 балла) Найдите промежутки убывания функции f(x) = x³ + 3x² - 9x

Решение:

Чтобы найти промежутки убывания функции, нужно найти первую производную функции и приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки.

1. Найдем производную функции \( f(x) \):

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 9x) = 3x^2 + 6x - 9 \)

2. Приравняем производную к нулю и найдем корни уравнения:

\( 3x^2 + 6x - 9 = 0 \)

Разделим обе части на 3:

\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)

Найдем корни с помощью дискриминанта или по теореме Виета:

\( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками: \( (-\infty; -3), (-3; 1), (1; +\infty) \).

Выберем пробные точки:

• \( x = -4 \): \( f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 3(16) - 24 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0 \) (функция возрастает).
• \( x = 0 \): \( f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0 \) (функция убывает).
• \( x = 2 \): \( f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 3(4) + 12 - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0 \) (функция возрастает).

Функция убывает на интервале, где \( f'(x) < 0 \).

Ответ: Промежуток убывания: \( [-3; 1] \).