206. 3) Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если tg α = 15/8 и π < α < 3π/2.

Решение:

1. Используем формулу \( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \).
2. \( 1 + \left( \frac{15}{8} \right)^2 = 1 + \frac{225}{64} = \frac{64 + 225}{64} = \frac{289}{64} \).
3. \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{289}{64} \), следовательно, \( \cos^2 \alpha = \frac{64}{289} \).
4. Так как \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) (третий квадрант), \( \cos \alpha < 0 \).
5. \( \cos \alpha = -\sqrt{\frac{64}{289}} = -\frac{8}{17} \).
6. Найдём \( \sin \alpha \): \( \sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{15}{8} \cdot \left( -\frac{8}{17} \right) = -\frac{15}{17} \).
7. Найдём \( \operatorname{ctg} \alpha \): \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} = \frac{8}{15} \).

Ответ: \( \cos \alpha = -\frac{8}{17}, \sin \alpha = -\frac{15}{17}, \operatorname{ctg} \alpha = \frac{8}{15} \).