20. Тип 20 № 341340 Решите систему уравнений \( \begin{cases} 2x^2 + 3y^2 = 11, \\ 4x^2 + 6y^2 = 11x. \end{cases} \)

Решение:

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} 2x^2 + 3y^2 = 11 \\ 4x^2 + 6y^2 = 11x \end{cases} \]

Заметим, что второе уравнение можно преобразовать. Умножим первое уравнение на 2:

\[ 2(2x^2 + 3y^2) = 2 \cdot 11 \]

\[ 4x^2 + 6y^2 = 22 \]

Теперь приравняем правую часть второго уравнения к \( 22 \), так как \( 4x^2 + 6y^2 \) равно \( 22 \) из преобразованного первого уравнения:

\[ 11x = 22 \]

Отсюда найдем \( x \):

\[ x = \frac{22}{11} = 2 \]

Теперь подставим \( x = 2 \) в первое уравнение системы, чтобы найти \( y \):

\[ 2(2)^2 + 3y^2 = 11 \]

\[ 2(4) + 3y^2 = 11 \]

\[ 8 + 3y^2 = 11 \]

\[ 3y^2 = 11 - 8 \]

\[ 3y^2 = 3 \]

\[ y^2 = 1 \]

Следовательно, \( y = 1 \) или \( y = -1 \).

Получаем два решения:

• \( x = 2, y = 1 \)
• \( x = 2, y = -1 \)

Ответ: (2; 1), (2; -1).