16. Тип 16 № 472375 В окружность с центром в точке О вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки О до сторон треугольника равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Найдите сторону треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности (О) совпадает с центром вписанной окружности и является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот.

Расстояние от центра \( O \) до стороны треугольника — это радиус вписанной окружности \( r \).

Дано:

• Радиус вписанной окружности \( r = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Найти:

• Сторону равностороннего треугольника \( a \)

Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности связан со стороной формулой:

\[ r = \frac{a}{2\sqrt{3}} \]

Выразим сторону \( a \) из этой формулы:

\[ a = 2\sqrt{3} \cdot r \]

Подставим данное значение \( r \):

\[ a = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = (\sqrt{3})^2 = 3 \]

Ответ: 3.