20. Найдите область определения функции y = log₂(-x² + 2x + 3)

Решение:

Область определения логарифмической функции определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

1. \( -x^2 + 2x + 3 > 0 \).
2. Умножим неравенство на -1 и сменим знак неравенства: \( x^2 - 2x - 3 < 0 \).
3. Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 2x - 3 = 0 \). Используем теорему Виета или дискриминант. \( D = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \). \( \sqrt{D} = 4 \).
4. \( x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)
5. \( x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \)
6. Так как ветви параболы \( y = x^2 - 2x - 3 \) направлены вверх, неравенство \( x^2 - 2x - 3 < 0 \) выполняется между корнями.
7. \( -1 < x < 3 \).

Ответ: \( (-1; 3) \).