2) Дана функция \( y=x^3 +3x^2-4 \). Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-4, 1].

Решение:

1. Найдём производную функции: \( y' = 3x^2 + 6x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 + 6x = 0 \) \( 3x(x+2) = 0 \) Следовательно, \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -2 \).
3. Проверим, принадлежат ли критические точки заданному отрезку [-4, 1]. Обе точки, \( -2 \) и \( 0 \), принадлежат отрезку.
4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
   • \( y(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 4 = -64 + 3(16) - 4 = -64 + 48 - 4 = -20 \)
   • \( y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 3(4) - 4 = -8 + 12 - 4 = 0 \)
   • \( y(0) = 0^3 + 3(0)^2 - 4 = -4 \)
   • \( y(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 \)
5. Сравним полученные значения: \( -20, 0, -4, 0 \). Наибольшее значение равно 0, а наименьшее — -20.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 0, наименьшее — -20.