2.46. На тело действует единственная сила, причем график зависимости проекции скорости от времени vₓ(t) представлен на рисунке 2.7. Построить график зависимости проекции силы от времени Fₓ(t) для данного движения тела. Масса тела m = 0,5 кг.

Решение:

По второму закону Ньютона, проекция силы на ось x равна произведению массы тела на проекцию его ускорения на эту ось: \( F_x = m · a_x \).

Проекция ускорения на ось x равна первой производной от проекции скорости по времени: \( a_x = \frac{dv_x}{dt} \).

Следовательно, \( F_x = m · \frac{dv_x}{dt} \).

Это означает, что график зависимости проекции силы от времени \( F_x(t) \) будет иметь тот же вид, что и график зависимости проекции ускорения от времени \( a_x(t) \), отличаясь лишь масштабом по вертикали (коэффициент пропорциональности равен массе \( m \)).

Проанализируем график зависимости скорости от времени \( v_x(t) \) (Рисунок 2.7):

1. Участок от \( t = 0 \) до \( t = 2 \) с:



Скорость постоянна и равна \( v_x = 2 \) м/с. Это означает, что ускорение \( a_x = 0 \) (так как \( \frac{dv_x}{dt} = 0 \)).




Следовательно, проекция силы \( F_x = m · 0 = 0 \) Н.




2. Участок от \( t = 2 \) до \( t = 4 \) с:



Скорость линейно увеличивается от 2 м/с до 4 м/с. Ускорение постоянное.




\( a_x = \frac{Δv_x}{Δt} = \frac{4 · м/с - 2 · м/с}{4 · с - 2 · с} = \frac{2 · м/с}{2 · с} = 1 \) м/с².




Проекция силы: \( F_x = m · a_x = 0.5 \) кг \( · 1 \) м/с² \( = 0.5 \) Н.




3. Участок от \( t = 4 \) до \( t = 6 \) с:



Скорость линейно уменьшается от 4 м/с до 0 м/с. Ускорение постоянное.




\( a_x = \frac{Δv_x}{Δt} = \frac{0 · м/с - 4 · м/с}{6 · с - 4 · с} = \frac{-4 · м/с}{2 · с} = -2 \) м/с².




Проекция силы: \( F_x = m · a_x = 0.5 \) кг \( · (-2) \) м/с² \( = -1 \) Н.

Теперь построим график зависимости \( F_x(t) \):

Ответ: График зависимости проекции силы от времени \( F_x(t) \) представляет собой кусочно-постоянную функцию: \( F_x(t) = 0 \) для \( 0 ≤ t ≤ 2 \) с; \( F_x(t) = 0.5 \) Н для \( 2 < t ≤ 4 \) с; \( F_x(t) = -1 \) Н для \( 4 < t ≤ 6 \) с.