2.45*. Материальная точка массой m = 2 кг движется под действием некоторой силы F согласно закону: x = A + Bt + Ct² + Dt³, где C = 1 м/с², D = -0,2 м/с³. Найти значение этой силы в моменты времени t₁ = 2 с и t₂ = 5 с. В какой момент времени сила равна нулю?

Решение:

Дано:

• Масса: \( m = 2 \) кг


• Закон движения: \( x(t) = A + Bt + Ct^2 + Dt^3 \)


• Коэффициенты: \( C = 1 \) м/с², \( D = -0.2 \) м/с³


• Время: \( t_1 = 2 \) с, \( t_2 = 5 \) с

Сначала найдем скорость как первую производную от координаты по времени:

\( v_x(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(A + Bt + Ct^2 + Dt^3) \)

\( v_x(t) = B + 2Ct + 3Dt^2 \)

Теперь найдем ускорение как первую производную от скорости по времени (или вторую производную от координаты):

\( a_x(t) = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt}(B + 2Ct + 3Dt^2) \)

\( a_x(t) = 2C + 6Dt \)

По второму закону Ньютона, сила равна произведению массы на ускорение:

\( F_x(t) = m · a_x(t) = m(2C + 6Dt) \)

1. Найдем силу в момент времени t₁ = 2 с:

Подставим значения \( m=2 \) кг, \( C=1 \) м/с², \( D=-0.2 \) м/с³, \( t=2 \) с:

\( F_x(2) = 2 · (2 · 1 + 6 · (-0.2) · 2) \)

\( F_x(2) = 2 · (2 - 2.4) \)

\( F_x(2) = 2 · (-0.4) = -0.8 \) Н.

2. Найдем силу в момент времени t₂ = 5 с:

Подставим значения \( m=2 \) кг, \( C=1 \) м/с², \( D=-0.2 \) м/с³, \( t=5 \) с:

\( F_x(5) = 2 · (2 · 1 + 6 · (-0.2) · 5) \)

\( F_x(5) = 2 · (2 - 6) \)

\( F_x(5) = 2 · (-4) = -8 \) Н.

3. Найдем момент времени, когда сила равна нулю:

Приравняем \( F_x(t) \) к нулю:

\( m(2C + 6Dt) = 0 \)

Так как \( m ≠ 0 \), то \( 2C + 6Dt = 0 \).

\( 6Dt = -2C \)

\( t = \frac{-2C}{6D} = \frac{-C}{3D} \)

Подставим значения \( C=1 \) м/с², \( D=-0.2 \) м/с³:

\( t = \frac{-1}{3 · (-0.2)} = \frac{-1}{-0.6} = \frac{1}{0.6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \) с.

Ответ: 1) Сила в момент \( t_1 = 2 \) с равна \( -0.8 \) Н. 2) Сила в момент \( t_2 = 5 \) с равна \( -8 \) Н. 3) Сила равна нулю в момент времени \( t = \frac{5}{3} \) с.