2.43. Тело массой m движется прямолинейно под действием постоянной силы F. В момент времени t₀ тело находится в точке x₀. Какую скорость v₀ должно иметь тело при t = t₀, чтобы в момент времени t попасть в точку x?

Решение:

Для прямолинейного движения под действием постоянной силы справедливы следующие формулы:

Уравнение скорости: \( v = v_0 + at \)

Уравнение координаты: \( x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \)

где \( a = \frac{F}{m} \) — ускорение.

Пусть время движения от \( t_0 \) до \( t \) равно \( Δt = t - t_0 \).

В начальный момент времени (при \( t = t_0 \)) тело имеет скорость \( v_0 \) и координату \( x_0 \).

В конечный момент времени (при \( t \)) тело имеет координату \( x \) и некоторую скорость \( v_{конечная} \).

Из уравнения координаты:

\( x = x_0 + v_0 · Δt + \frac{1}{2}a (Δt)^2 \)

Подставим \( Δt = t - t_0 \) и \( a = \frac{F}{m} \):

\( x = x_0 + v_0 (t - t_0) + \frac{1}{2} · \frac{F}{m} · (t - t_0)^2 \)

Теперь выразим начальную скорость \( v_0 \) (скорость в момент \( t_0 \)) из этого уравнения:

\( v_0 (t - t_0) = x - x_0 - \frac{1}{2} · \frac{F}{m} · (t - t_0)^2 \)

\( v_0 = \frac{x - x_0}{t - t_0} - \frac{1}{2} · \frac{F}{m} · \frac{(t - t_0)^2}{t - t_0} \)

\( v_0 = \frac{x - x_0}{t - t_0} - \frac{F(t - t_0)}{2m} \)

Ответ: Скорость \( v_0 \) должна быть равна \( \frac{x - x_0}{t - t_0} - \frac{F(t - t_0)}{2m} \).