2.42. Какой станет скорость тела массой m = 5 кг, движущегося со скоростью v₀ = 8 м/с, если на расстоянии l = 10 м на тело будет действовать сила F = 12 Н? Задачу решить для случаев: 1) направление перемещения совпадает с направлением силы; 2) направление перемещения противоположно направлению силы; 3) направление перемещения в любой момент времени перпендикулярно направлению силы. Каков будет характер движения в каждом случае?

Решение:

Для решения задачи будем использовать теорему об изменении кинетической энергии: \( A_{полн} = \Delta E_k \), где \( A_{полн} \) — работа всех сил, действующих на тело, \( \Delta E_k \) — изменение кинетической энергии.

Кинетическая энергия равна \( E_k = \frac{1}{2}mv^2 \).

Работа силы равна \( A = F · l · \cos \alpha \), где \( \alpha \) — угол между вектором силы и вектором перемещения.

Случай 1: Направление перемещения совпадает с направлением силы (\( \alpha = 0^{\circ} \)).

Работа силы \( F \): \( A_F = F · l \).

Работа силы тяжести и силы реакции опоры равна нулю, так как они перпендикулярны перемещению.

Теорема об изменении кинетической энергии: \( F · l = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 \).

Выразим конечную скорость \( v \):

\( v^2 = v_0^2 + \frac{2Fl}{m} \)

\( v = \sqrt{v_0^2 + \frac{2Fl}{m}} \)

Подставим значения: \( m = 5 \) кг, \( v_0 = 8 \) м/с, \( l = 10 \) м, \( F = 12 \) Н.

\( v = \sqrt{8^2 + \frac{2 · 12 · 10}{5}} = \sqrt{64 + \frac{240}{5}} = \sqrt{64 + 48} = \sqrt{112} \approx 10.58 \) м/с.

Характер движения: равноускоренное движение.

Случай 2: Направление перемещения противоположно направлению силы (\( \alpha = 180^{\circ} \)).

Работа силы \( F \): \( A_F = F · l · \cos 180^{\circ} = -F · l \).

Теорема об изменении кинетической энергии: \( -F · l = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 \).

Выразим конечную скорость \( v \):

\( v^2 = v_0^2 - \frac{2Fl}{m} \)

\( v = \sqrt{v_0^2 - \frac{2Fl}{m}} \)

Подставим значения:

\( v = \sqrt{8^2 - \frac{2 · 12 · 10}{5}} = \sqrt{64 - 48} = \sqrt{16} = 4 \) м/с.

Характер движения: равнозамедленное движение.

Случай 3: Направление перемещения перпендикулярно направлению силы (\( \alpha = 90^{\circ} \)).

Работа силы \( F \): \( A_F = F · l · \cos 90^{\circ} = 0 \).

Теорема об изменении кинетической энергии: \( 0 = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 \).

Из этого следует, что \( v^2 = v_0^2 \), то есть \( v = v_0 \).

\( v = 8 \) м/с.

Характер движения: движение с постоянной скоростью, так как сила \( F \) не изменяет величину скорости, а лишь её направление (в данном случае, как вектор силы, так и вектор перемещения, перпендикулярны, но если бы сила действовала постоянно, то тело двигалось бы по окружности).

Ответ: 1) \( v \approx 10.58 \) м/с, равноускоренное движение; 2) \( v = 4 \) м/с, равнозамедленное движение; 3) \( v = 8 \) м/с, движение с постоянной скоростью.