19. Тип 17 № 11047 i Задумали трехзначное число, все цифры которого различны и первая цифра которого нечетная. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 99. Найдите произведение наименьшего и наибольшего чисел, удовлетворяющих таким условиям.

Решение:

Пусть задуманное трехзначное число имеет вид abc, где a, b, c — различные цифры, и a — нечетная цифра (1, 3, 5, 7, 9).

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид cba.

По условию: abc - cba = 99.

Разложим числа по разрядам:

\[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99 \]\[ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 99 \]\[ 99a - 99c = 99 \]\[ 99(a - c) = 99 \]\[ a - c = 1 \]

Это означает, что разница между первой и последней цифрой числа равна 1.

Теперь нужно найти все возможные комбинации цифр a, b, c, удовлетворяющие условиям:

1. a — нечетная цифра (1, 3, 5, 7, 9).


2. a, b, c — различные цифры.


3. a - c = 1.

Рассмотрим возможные значения a:

• Если a = 1: Тогда c = a - 1 = 1 - 1 = 0. Цифры: 1, 0. b может быть любой другой цифрой (кроме 1 и 0), например, 2. Число: 120. Обратное: 021 (или 21). 120 - 21 = 99.
• Если a = 3: Тогда c = a - 1 = 3 - 1 = 2. Цифры: 3, 2. b может быть любой другой цифрой (кроме 3 и 2), например, 1. Число: 312. Обратное: 213. 312 - 213 = 99.
• Если a = 5: Тогда c = a - 1 = 5 - 1 = 4. Цифры: 5, 4. b может быть любой другой цифрой (кроме 5 и 4), например, 0. Число: 504. Обратное: 405. 504 - 405 = 99.
• Если a = 7: Тогда c = a - 1 = 7 - 1 = 6. Цифры: 7, 6. b может быть любой другой цифрой (кроме 7 и 6), например, 5. Число: 756. Обратное: 657. 756 - 657 = 99.
• Если a = 9: Тогда c = a - 1 = 9 - 1 = 8. Цифры: 9, 8. b может быть любой другой цифрой (кроме 9 и 8), например, 7. Число: 978. Обратное: 879. 978 - 879 = 99.

Возможные задуманные числа (abc): 120, 312, 504, 756, 978 (при выборе b, например, 2, 1, 0, 5, 7 соответственно). Можно также выбрать другие значения для b, например, для a=3, c=2, b может быть 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Наименьшее число, удовлетворяющее условиям: 120 (где a=1, c=0, b=2).

Наибольшее число, удовлетворяющее условиям: 987 (где a=9, c=8, b=7). Проверим: 987 - 789 = 198. Ошибка в рассуждении. Наибольшим будет число с наибольшей первой цифрой, а затем наибольшей средней.

Пересмотрим возможные числа.

Наименьшее число:

a должно быть минимальным нечетным, то есть 1. Тогда c = 0. Для минимизации числа abc, b должно быть минимальной отличной от a и c цифрой. Минимум b = 2 (т.к. 0 и 1 заняты). Число: 120. Обратное: 021 = 21. 120 - 21 = 99. Это условие выполняется. Наименьшее число = 120.

Наибольшее число:

a должно быть максимальным нечетным, то есть 9. Тогда c = 8. Для максимизации числа abc, b должно быть максимальной отличной от a и c цифрой. Максимум b = 7. Число: 978. Обратное: 879. 978 - 879 = 99. Это условие выполняется. Наибольшее число = 978.

Произведение наименьшего и наибольшего чисел:

\[ 120 \times 978 = 117360 \]

Ответ: 117360