19. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.

Решение:

Основание пирамиды — прямоугольник ABCD со сторонами \( AB = 6 \) см и \( BC = 8 \) см. Боковые ребра \( SA = SB = SC = SD = 13 \) см.

В правильной пирамиде (и в данном случае, так как все боковые ребра равны) вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. Для прямоугольника центром описанной окружности является точка пересечения диагоналей.

Найдем длину диагонали прямоугольника \( AC \) по теореме Пифагора: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \) \( \Rightarrow \) \( AC = 10 \) см.

Радиус описанной окружности \( R \) равен половине диагонали: \( R = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.

Пусть \( SO \) — высота пирамиды, где \( O \) — центр основания. Треугольник \( SOA \) — прямоугольный.

По теореме Пифагора: \( SO^2 + AO^2 = SA^2 \) \( \Rightarrow \) \( h^2 + R^2 = 13^2 \) \( \Rightarrow \) \( h^2 + 5^2 = 13^2 \) \( \Rightarrow \) \( h^2 + 25 = 169 \) \( \Rightarrow \) \( h^2 = 144 \) \( \Rightarrow \) \( h = 12 \) см.

Ответ: \( 12 \) см.