19. Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 19, сумма цифр которого на 1 больше их произведения.

Решение:

Обозначим четырёхзначное число как \( ABCD \), где \( A, B, C, D \) — цифры, \( A \in \{1, 2, ..., 9\} \), \( B, C, D \in \{0, 1, ..., 9\} \).

Условия:

1. \( 1000A + 100B + 10C + D \) делится на 19.
2. \( A + B + C + D = A \cdot B \cdot C \cdot D + 1 \).

Это задача с большим количеством переборов, требующая вычислительных средств или очень тщательного анализа.

Рассмотрим возможные комбинации цифр для второго условия. Если в числе есть 0, произведение цифр равно 0, тогда сумма цифр равна 1. Это может быть число 1000. Проверим делимость на 19: \( 1000 \div 19 \approx 52.63 \) — не делится.

Если все цифры ненулевые:

Попробуем числа с малыми цифрами. Например, цифры 1, 1, 2, 3.

Сумма: \( 1+1+2+3 = 7 \).

Произведение: \( 1 \times 1 \times 2 \times 3 = 6 \).

\( 7 = 6 + 1 \). Второе условие выполнено.

Теперь составим из этих цифр число и проверим делимость на 19.

Возможные числа: 1123, 1132, 1213, 1231, 1312, 1321, 2113, 2131, 2311, 3112, 3121, 3211.

Проверим делимость на 19:

\( 1123 \div 19 = 59.1 \)

\( 1132 \div 19 = 59.57 \)

\( 1213 \div 19 = 63.84 \)

\( 1231 \div 19 = 64.78 \)

\( 1312 \div 19 = 69.05 \)

\( 1321 \div 19 = 69.52 \)

\( 2113 \div 19 = 111.2 \)

\( 2131 \div 19 = 112.15 \)

\( 2311 \div 19 = 121.63 \)

\( 3112 \div 19 = 163.78 \)

\( 3121 \div 19 = 164.26 \)

\( 3211 \div 19 = 169 \). Число 3211 делится на 19 без остатка.

Сумма цифр 3, 2, 1, 1 равна 7. Произведение цифр 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Сумма на 1 больше произведения (7 = 6 + 1).

Ответ: 3211