13. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 16, а боковое ребро равно 10. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение:

Пирамида правильная, значит, в основании лежит равносторонний треугольник. Площадь боковой поверхности равна сумме площадей трех боковых граней, которые являются равными равнобедренными треугольниками.

Для нахождения площади боковой грани (треугольника) нам нужна высота боковой грани (апофема пирамиды, \( h_a \)).

В основании лежит равносторонний треугольник со стороной \( a = 16 \). Его высота \( h_{\text{осн}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{16 \sqrt{3}}{2} = 8 \sqrt{3} \).

Найдем центр основания — точку пересечения высот. Расстояние от центра до вершины основания равно \( R = \frac{2}{3} h_{\text{осн}} = \frac{2}{3} \times 8 \sqrt{3} = \frac{16 \sqrt{3}}{3} \).

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой \( h_a \), боковым ребром \( l = 10 \) и радиусом описанной окружности \( R \).

\( h_a^2 + R^2 = l^2 \)

\( h_a^2 + \left(\frac{16 \sqrt{3}}{3}\right)^2 = 10^2 \)

\( h_a^2 + \frac{256 \times 3}{9} = 100 \)

\( h_a^2 + \frac{256}{3} = 100 \)

\( h_a^2 = 100 - \frac{256}{3} = \frac{300 - 256}{3} = \frac{44}{3} \)

\( h_a = \sqrt{\frac{44}{3}} = 2 \sqrt{\frac{11}{3}} = \frac{2 \sqrt{33}}{3} \).

Площадь одной боковой грани: \( S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \times a \times h_a = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{2 \sqrt{33}}{3} = \frac{16 \sqrt{33}}{3} \).

Площадь боковой поверхности: \( S_{\text{бок}} = 3 \times S_{\text{грани}} = 3 \times \frac{16 \sqrt{33}}{3} = 16 \sqrt{33} \).

Ответ: 16√33