21. (3 балла) В трёх группах 1-го курса 70 ребят. Из них 25 занимаются в драмкружке, 29 поют в хоре, 20 увлекаются спортом. В драмкружке 9 ребят из хора, в хоре 4 спортсмена, в драмкружке 8 спортсменов; 2 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?

Решение:

Используем принцип включения-исключения для решения задачи.

Обозначим:

• \( D \) — множество ребят, занимающихся в драмкружке \( |D| = 25 \).
• \( H \) — множество ребят, поющих в хоре \( |H| = 29 \).
• \( S \) — множество ребят, увлекающихся спортом \( |S| = 20 \).
• \( D \cap H \) — ребята, занимающиеся в драмкружке И поющие в хоре \( |D ∩ H| = 9 \).
• \( H ∩ S \) — ребята, поющие в хоре И увлекающиеся спортом \( |H ∩ S| = 4 \).
• \( D ∩ S \) — ребята, занимающиеся в драмкружке И увлекающиеся спортом \( |D ∩ S| = 8 \).
• \( D ∩ H ∩ S \) — ребята, занимающиеся во всех трех секциях \( |D ∩ H ∩ S| = 2 \).

Общее количество ребят \( N = 70 \).

Сначала найдём количество ребят, которые занимаются хотя бы в одной из секций (посещают хотя бы одно из объединений), используя формулу включения-исключения:

\[ |D ∪ H ∪ S| = |D| + |H| + |S| - |D ∩ H| - |H ∩ S| - |D ∩ S| + |D ∩ H ∩ S| \]

\[ |D ∪ H ∪ S| = 25 + 29 + 20 - 9 - 4 - 8 + 2 \]

\[ |D ∪ H ∪ S| = 74 - 21 + 2 \]

\[ |D ∪ H ∪ S| = 53 + 2 \]

\[ |D ∪ H ∪ S| = 55 \]

Это количество ребят, которые занимаются хотя бы в одной секции.

Нас интересует количество ребят, которые НЕ поют в хоре, НЕ увлекаются спортом и НЕ занимаются в драмкружке. Это те ребята, которые не входят ни в одно из этих множеств, то есть находятся вне объединения \( D ∪ H ∪ S \).

Количество таких ребят равно общему числу ребят минус количество ребят, занимающихся хотя бы в одной секции.

\[ N_{не занимаются ничем} = N - |D ∪ H ∪ S| \]

\[ N_{не занимаются ничем} = 70 - 55 \]

\[ N_{не занимаются ничем} = 15 \]

Ответ: 15.