19. (3 балла) Решить уравнение (2х² - 3х - 2)√(3х + 1) = 0

Решить уравнение: \( (2x^2 - 3x - 2) \sqrt{3x + 1} = 0 \)

Решение:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для квадратного корня.

1. ОДЗ:

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

\( 3x + 1 ≥ 0 \)

\( 3x ≥ -1 \)

\( x ≥ -\frac{1}{3} \)

2. Приравниваем множители к нулю:

а) Первый множитель:

\( 2x^2 - 3x - 2 = 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 \)

\( \sqrt{D} = 5 \)

\( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2 · 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \)

\( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2 · 2} = \frac{8}{4} = 2 \)

б) Второй множитель:

\( \sqrt{3x + 1} = 0 \)

Возведем обе части в квадрат:

\( 3x + 1 = 0 \)

\( 3x = -1 \)

\( x_3 = -\frac{1}{3} \)

3. Проверяем корни на соответствие ОДЗ:

\( x ≥ -\frac{1}{3} \)

• \( x_1 = -\frac{1}{2} \). Это значение меньше \( -\frac{1}{3} \), поэтому не входит в ОДЗ.
• \( x_2 = 2 \). Это значение больше \( -\frac{1}{3} \), поэтому входит в ОДЗ.
• \( x_3 = -\frac{1}{3} \). Это значение равно \( -\frac{1}{3} \), поэтому входит в ОДЗ.

4. Итоговые корни уравнения:

\( x = 2 \) и \( x = -\frac{1}{3} \).

Ответ: \( x = 2, x = -\frac{1}{3} \)