18. (3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками функций y= x+1 и y= 2x² и при помощи интеграла найдите ее площадь

Решение:

Сначала найдем точки пересечения графиков функций \( y = x+1 \) и \( y = 2x^2 \). Для этого приравняем выражения:

\( 2x^2 = x+1 \)

\( 2x^2 - x - 1 = 0 \).

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \).

\( x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1+3}{4} = 1 \).

\( x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{1-3}{4} = -1/2 \).

Найдем соответствующие значения \( y \):

При \( x = 1 \): \( y = 2(1)^2 = 2 \) (или \( y = 1+1 = 2 \)). Точка пересечения (1, 2).

При \( x = -1/2 \): \( y = 2(-1/2)^2 = 2(1/4) = 1/2 \) (или \( y = -1/2 + 1 = 1/2 \)). Точка пересечения (-1/2, 1/2).

Теперь построим графики. \( y = 2x^2 \) — парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх. \( y = x+1 \) — прямая, проходящая через точки \( (-1, 0) \) и \( (0, 1) \).

Фигура, ограниченная этими графиками, находится между \( x = -1/2 \) и \( x = 1 \). В этом промежутке значение \( x+1 \) больше, чем \( 2x^2 \).

Площадь фигуры вычисляется по формуле:

\( S = \int_{a}^{b} (y_{верхняя} - y_{нижняя}) dx \).

В нашем случае \( a = -1/2 \), \( b = 1 \), \( y_{верхняя} = x+1 \), \( y_{нижняя} = 2x^2 \).

\( S = \int_{-1/2}^{1} (x+1 - 2x^2) dx \).

Вычислим интеграл:

\( S = \left[ \frac{x^2}{2} + x - \frac{2x^3}{3} \right]_{-1/2}^{1} \).

Подставим верхний предел:

\( \left( \frac{1^2}{2} + 1 - \frac{2(1)^3}{3} \right) = \left( \frac{1}{2} + 1 - \frac{2}{3} \right) = \left( \frac{3}{6} + \frac{6}{6} - \frac{4}{6} \right) = \frac{5}{6} \).

Подставим нижний предел:

\( \left( \frac{(-1/2)^2}{2} + (-1/2) - \frac{2(-1/2)^3}{3} \right) = \left( \frac{1/4}{2} - \frac{1}{2} - \frac{2(-1/8)}{3} \right) = \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{12} \right) \).

Приведем к общему знаменателю 24:

\( \left( \frac{3}{24} - \frac{12}{24} + \frac{2}{24} \right) = \frac{3 - 12 + 2}{24} = \frac{-7}{24} \).

Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

\( S = \frac{5}{6} - \left( \frac{-7}{24} \right) = \frac{5}{6} + \frac{7}{24} = \frac{20}{24} + \frac{7}{24} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \).

Ответ: \(\frac{9}{8}\).