18. (3 балла) Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение:

Многогранник состоит из двух частей: нижнего параллелепипеда и верхнего, который также можно представить как часть параллелепипеда. Размеры многогранника следующие:

• Длина нижней части: 4
• Ширина нижней части: 4
• Высота нижней части: 2
• Длина верхней части: 2
• Ширина верхней части: 4
• Высота верхней части: 2

Разобьем многогранник на два параллелепипеда:

Нижний параллелепипед:

• Размеры: 4x4x2
• Площадь поверхности: \( 2(4 \times 4) + 2(4 \times 2) + 2(4 \times 2) = 2(16) + 2(8) + 2(8) = 32 + 16 + 16 = 64 \)

Верхний параллелепипед:

• Размеры: 2x4x2
• Площадь поверхности: \( 2(2 \times 4) + 2(2 \times 2) + 2(4 \times 2) = 2(8) + 2(4) + 2(8) = 16 + 8 + 16 = 40 \)

Однако, при сложении мы должны учесть перекрывающиеся грани.

Рассмотрим грани многогранника:

1. Передняя грань: \( 4 \times 2 \) (нижняя часть) + \( 2 \times 2 \) (верхняя часть) = \( 8 + 4 = 12 \).
2. Задняя грань: \( 4 \times 2 \) (нижняя часть) + \( 2 \times 2 \) (верхняя часть) = \( 8 + 4 = 12 \).
3. Боковая грань (левая): \( 4 \times 2 \) (нижняя часть) + \( 2 \times 2 \) (верхняя часть) = \( 8 + 4 = 12 \).
4. Боковая грань (правая): \( 4 \times 2 \) = 8.
5. Нижняя грань: \( 4 \times 4 \) = 16.
6. Верхняя грань: \( 2 \times 4 \) = 8.
7. Дополнительная боковая грань (выступ): \( 4 \times 2 \) = 8.
8. Дополнительная верхняя грань (выступ): \( 2 \times 4 \) = 8.

Пересчитаем грани по частям, чтобы учесть перекрытия:

Нижняя часть (4x4x2):

• Нижняя площадь: \( 4 \times 4 = 16 \)
• Боковые стенки: \( 4 \times 2 + 4 \times 2 + 4 \times 2 = 8 + 8 + 8 = 24 \)
• Площадь, которая будет перекрыта верхней частью: \( 2 \times 4 = 8 \)

Верхняя часть (2x4x2):

• Площадь основания (которая перекрывает нижнюю часть): \( 2 \times 4 = 8 \)
• Верхняя площадь: \( 2 \times 4 = 8 \)
• Боковые стенки: \( 2 \times 2 + 4 \times 2 + 2 \times 2 = 4 + 8 + 4 = 16 \)

Площадь выступа (2x2x2):

• Площадь основания: \( 2 \times 2 = 4 \)
• Площадь боковых стенок: \( 2 \times 2 + 2 \times 2 + 2 \times 2 = 4 + 4 + 4 = 12 \)
• Площадь верхней грани: \( 2 \times 2 = 4 \)

Суммируем видимые площади:

Нижняя площадь: 16

Боковые нижние стенки (3 стороны): \( 3 \times (4 \times 2) = 3 \times 8 = 24 \)

Верхняя часть: 8 (только видимая часть, не перекрытая)

Боковые верхние стенки: \( 2 \times (2 \times 2) + 1 \times (4 \times 2) = 2 \times 4 + 8 = 8 + 8 = 16 \)

Передняя стенка (выступ): \( 2 \times 2 = 4 \)

Боковая стенка (выступ): \( 2 \times 2 = 4 \)

Задняя стенка (выступ): \( 2 \times 2 = 4 \)

Верхняя площадь (выступ): \( 2 \times 2 = 4 \)

Пересчитаем более систематично, как сумма площадей всех граней, вычитая перекрывающиеся:

1. Нижняя грань: \( 4 \times 4 = 16 \)

2. Передняя грань (полностью): \( 4 \times 2 = 8 \)

3. Задняя грань (полностью): \( 4 \times 2 = 8 \)

4. Левая боковая грань (полностью): \( 4 \times 2 = 8 \)

5. Площадь верхней части, которая выступает: \( (4-2) \times 2 = 2 \times 2 = 4 \) (боковая правая часть)

6. Верхняя грань: \( 2 \times 4 = 8 \)

7. Передняя грань верхней части: \( 2 \times 2 = 4 \)

8. Левая боковая грань верхней части: \( 2 \times 2 = 4 \)

9. Верхняя грань выступа: \( 2 \times 2 = 4 \)

10. Передняя грань выступа: \( 2 \times 2 = 4 \)

11. Левая грань выступа: \( 2 \times 2 = 4 \)

12. Правая грань выступа: \( 2 \times 2 = 4 \)

Суммируем площади всех видимых граней:

Нижняя: \( 4 \times 4 = 16 \)

Передняя (нижняя часть): \( 4 \times 2 = 8 \)

Задняя (нижняя часть): \( 4 \times 2 = 8 \)

Левая боковая (нижняя часть): \( 4 \times 2 = 8 \)

Правая боковая (нижняя часть): \( 4 \times 2 = 8 \)

Верхняя плоскость (вся, включая выступ): \( 2 \times 4 + 2 \times 2 = 8 + 4 = 12 \)

Передняя плоскость выступа: \( 2 \times 2 = 4 \)

Боковая плоскость выступа: \( 2 \times 2 = 4 \)

Задняя плоскость выступа: \( 2 \times 2 = 4 \)

Правая плоскость выступа: \( 2 \times 2 = 4 \)

Сумма: \( 16 + 8 + 8 + 8 + 8 + 12 + 4 + 4 + 4 + 4 = 84 \)

Альтернативный способ:

Считаем площади всех граней двух параллелепипедов и вычитаем площади перекрытия.

Нижний параллелепипед (4x4x2):

\( 2(4 \times 4) + 2(4 \times 2) + 2(4 \times 2) = 32 + 16 + 16 = 64 \)

Верхний параллелепипед (2x4x2):

\( 2(2 \times 4) + 2(2 \times 2) + 2(4 \times 2) = 16 + 8 + 16 = 40 \)

Площадь перекрытия: верхняя грань нижнего параллелепипеда, которая закрыта нижней гранью верхнего параллелепипеда. Эта площадь равна \( 2 \times 4 = 8 \).

Общая площадь поверхности: \( 64 + 40 - 2 \times 8 = 104 - 16 = 88 \).

Еще один способ:

Представим, что мы «разворачиваем» фигуру.

1. Нижняя грань: \( 4 \times 4 = 16 \)

2. Боковая грань (фронт, нижняя часть): \( 4 \times 2 = 8 \)

3. Боковая грань (тыл, нижняя часть): \( 4 \times 2 = 8 \)

4. Боковая грань (левая, нижняя часть): \( 4 \times 2 = 8 \)

5. Верхняя грань (общая): \( 2 \times 4 = 8 \)

6. Передняя грань выступа: \( 2 \times 2 = 4 \)

7. Боковая грань выступа: \( 2 \times 2 = 4 \)

8. Тыльная грань выступа: \( 2 \times 2 = 4 \)

9. Верхняя грань выступа: \( 2 \times 2 = 4 \)

10. Боковая правая грань (видимая часть): \( (4-2) \times 2 = 2 \times 2 = 4 \)

11. Передняя грань верхней части (выступ): \( 2 \times 2 = 4 \)

12. Левая боковая грань верхней части (выступ): \( 2 \times 2 = 4 \)

13. Правая боковая грань верхней части: \( 4 \times 2 = 8 \)

14. Тыльная боковая грань верхней части: \( 4 \times 2 = 8 \)

Сумма: \( 16 + 8 + 8 + 8 + 8 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 8 + 8 = 88 \)

Ответ: 88.