17. (3 балла) Для функции f(х) найти первообразную, график которой проходит через точку А (2; 8) и f(x) =4x^3 - 9x^2 + 4x - 5.

Решение:

Найдем первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = 4x^3 - 9x^2 + 4x - 5 \).

\( F(x) = \int (4x^3 - 9x^2 + 4x - 5) dx \)

\( F(x) = 4 \frac{x^{3+1}}{3+1} - 9 \frac{x^{2+1}}{2+1} + 4 \frac{x^{1+1}}{1+1} - 5x + C \)

\( F(x) = 4 \frac{x^4}{4} - 9 \frac{x^3}{3} + 4 \frac{x^2}{2} - 5x + C \)

\( F(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x + C \)

График первообразной проходит через точку \( A(2; 8) \), значит, \( F(2) = 8 \).

Подставим \( x=2 \) и \( F(x)=8 \) в уравнение первообразной:

\( 8 = (2)^4 - 3(2)^3 + 2(2)^2 - 5(2) + C \)

\( 8 = 16 - 3 \cdot 8 + 2 \cdot 4 - 10 + C \)

\( 8 = 16 - 24 + 8 - 10 + C \)

\( 8 = -8 - 10 + C \)

\( 8 = -18 + C \)

\( C = 8 + 18 \)

\( C = 26 \)

Следовательно, искомая первообразная:

\( F(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x + 26 \)

Ответ: \( F(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x + 26 \).