17. Решить задачу: В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 2/6. Боковые ребра равны $$\pi$$. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение:

1. Находим гипотенузу прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора \( c^2 = a^2 + b^2 \), где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.

\( c^2 = 9^2 + \left(\frac{2}{6}\right)^2 \)

\( c^2 = 81 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 \)

\( c^2 = 81 + \frac{1}{9} = \frac{729 + 1}{9} = \frac{730}{9} \)

\( c = \sqrt{\frac{730}{9}} = \frac{\sqrt{730}}{3} \)

2. Определяем радиус описанной окружности.

Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

\( R_{цилиндра} = \frac{c}{2} = \frac{\frac{\sqrt{730}}{3}}{2} = \frac{\sqrt{730}}{6} \)

3. Находим объем цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле \( V_{цилиндра} = \pi R^2 h \), где \( R \) — радиус основания, \( h \) — высота.

Высота цилиндра равна высоте призмы, которая равна длине боковых ребер, т.е. \( h = \pi \).

\( V_{цилиндра} = \pi \left(\frac{\sqrt{730}}{6}\right)^2 \cdot \pi \)

\( V_{цилиндра} = \pi \cdot \frac{730}{36} \cdot \pi \)

\( V_{цилиндра} = \frac{730 \pi^2}{36} = \frac{365 \pi^2}{18} \)

Ответ: \( \frac{365 \pi^2}{18} \).