16. Решить уравнение: $$\sin^2x-4\sin x \cos x+3\cos^2x=0$$

Решение:

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

Заметим, что \( \cos x = 0 \) не является решением, так как при \( \cos x = 0 \) уравнение примет вид \( \sin^2 x = 0 \), что невозможно, так как \( \sin x \) и \( \cos x \) не могут быть одновременно равны нулю.

Разделим обе части уравнения на \( \cos^2 x \):

\( \frac{\sin^2x}{\cos^2x} - 4\frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} + 3\frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0 \)

\( \mathrm{tg}^2x - 4\mathrm{tg}x + 3 = 0 \)

Сделаем замену: \( \mathrm{tg}x = y \).

\( y^2 - 4y + 3 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \)

\( y_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4+2}{2} = 3 \)

\( y_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4-2}{2} = 1 \)

Теперь вернемся к замене:

1. \( \mathrm{tg}x = 3 \)

\( x = \mathrm{arctg}3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)

2. \( \mathrm{tg}x = 1 \)

\( x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \mathrm{arctg}3 + \pi n \) и \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \).