17. Решить задачу: В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 1 и 10/6. Боковые ребра равны π. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение:

1. Найдем площадь основания призмы. Основание — прямоугольный треугольник с катетами \( a = 1 \) и \( b = \frac{10}{6} \).

\[ S_{основания} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{10}{6} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]

2. Объем призмы находится по формуле \( V_{призмы} = S_{основания} \cdot H \), где \( H \) — высота призмы. Высота призмы равна длине бокового ребра, то есть \( H = \pi \).

\[ V_{призмы} = \frac{5}{6} \cdot \pi \]

3. Цилиндр, описанный около призмы, имеет то же основание, что и призма (треугольник), но его радиус равен радиусу описанной окружности этого треугольника.

4. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.

Найдем гипотенузу \( c \) по теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 = 1^2 + \left(\frac{10}{6}\right)^2 = 1 + \frac{100}{36} = 1 + \frac{25}{9} = \frac{9+25}{9} = \frac{34}{9} \]

\[ c = \sqrt{\frac{34}{9}} = \frac{\sqrt{34}}{3} \]

5. Радиус описанной окружности \( R_{цилиндра} \) равен:

\[ R_{цилиндра} = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{34}}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{34}}{6} \]

6. Высота цилиндра равна высоте призмы: \( H_{цилиндра} = H_{призмы} = \pi \).

7. Объем цилиндра находится по формуле \( V_{цилиндра} = \pi R_{цилиндра}^2 H_{цилиндра} \).

\[ V_{цилиндра} = \pi \left(\frac{\sqrt{34}}{6}\right)^2 \cdot \pi = \pi \cdot \frac{34}{36} \cdot \pi = \pi \cdot \frac{17}{18} \cdot \pi = \frac{17\pi^2}{18} \]

Ответ: Объем цилиндра равен \( \frac{17\pi^2}{18} \).