15. Найдите точку минимума функции y = x³ - 1,5x² - 36x - 6.

Решение:

Чтобы найти точку минимума функции, нужно найти первую производную, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение. Затем проверить знак второй производной или знак первой производной на интервалах.

1. Найдем первую производную функции \( y = x^3 - 1.5x^2 - 36x - 6 \):

\[ y' = 3x^2 - 1.5(2x) - 36 = 3x^2 - 3x - 36 \]

2. Приравняем первую производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 3x^2 - 3x - 36 = 0 \]

Разделим уравнение на 3:

\[ x^2 - x - 12 = 0 \]

3. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \).

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2(1)} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

4. Определим, какая из критических точек является точкой минимума. Для этого найдем вторую производную:

\[ y'' = (3x^2 - 3x - 36)' = 6x - 3 \]

Проверим знак второй производной в критических точках:

Для \( x = 4 \): \( y''(4) = 6(4) - 3 = 24 - 3 = 21 \). Так как \( y''(4) > 0 \), то в точке \( x = 4 \) функция имеет минимум.

Для \( x = -3 \): \( y''(-3) = 6(-3) - 3 = -18 - 3 = -21 \). Так как \( y''(-3) < 0 \), то в точке \( x = -3 \) функция имеет максимум.

Ответ: Точка минимума функции находится при x = 4.