17.Решить неравенство: 6) (0,5)^(-2-x) <= 2^(5/x)

Решение:

Представим \( 0,5 \) как \( \frac{1}{2} \) или \( 2^{-1} \).

Неравенство примет вид:

\( (2^{-1})^{-2-x} \le 2^{5/x} \)

\( 2^{-1(-2-x)} \le 2^{5/x} \)

\( 2^{2+x} \le 2^{5/x} \)

Так как основание степени \( 2 > 1 \), показатели степеней сравниваются в том же направлении:

\( 2+x \le \frac{5}{x} \)

Перенесём всё в одну часть:

\( 2+x - \frac{5}{x} \le 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{2x + x^2 - 5}{x} \le 0 \)

\( \frac{x^2 + 2x - 5}{x} \le 0 \)

Найдем корни квадратного трёхчлена \( x^2 + 2x - 5 = 0 \) по формуле корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6} \]

Корни числителя: \( x_1 = -1 - \sqrt{6} \) и \( x_2 = -1 + \sqrt{6} \). Корень знаменателя: \( x=0 \).

\( \sqrt{6} \) примерно равно \( 2.45 \).

\( x_1 \approx -1 - 2.45 = -3.45 \)

\( x_2 \approx -1 + 2.45 = 1.45 \)

Расставим точки на числовой оси: \( -1 - \sqrt{6}, 0, -1 + \sqrt{6} \).

Проверим знаки на интервалах для \( \frac{x^2 + 2x - 5}{x} \le 0 \):

• \( x < -1 - \sqrt{6} \): \( \frac{(+)}{(-)} = (-) \)
• \( -1 - \sqrt{6} < x < 0 \): \( \frac{(-)}{(-)} = (+) \)
• \( 0 < x < -1 + \sqrt{6} \): \( \frac{(-)}{+} = (-) \)
• \( x > -1 + \sqrt{6} \): \( \frac{(+)}{+} = (+) \)

Нам нужно \( \le 0 \). Учитывая, что \( x
e 0 \), а числитель может быть равен нулю:

\( x \in (-\infty, -1 - \sqrt{6}] \cup (0, -1 + \sqrt{6}] \)

Ответ: \( x \in (-\infty, -1 - \sqrt{6}] \cup (0, -1 + \sqrt{6}] \).