17.Решить неравенство: 2) (1,25)^(3-x) <= (4/5)^(-2/x)

Решение:

Представим \( 1,25 \) как \( \frac{5}{4} \) и \( \frac{4}{5} = \left(\frac{5}{4}\right)^{-1} \).

Неравенство примет вид:

\( \left(\frac{5}{4}\right)^{3-x} \le \left(\left(\frac{5}{4}\right)^{-1}\right)^{-2/x} \)

\( \left(\frac{5}{4}\right)^{3-x} \le \left(\frac{5}{4}\right)^{2/x} \)

Так как основание степени \( \frac{5}{4} > 1 \), показатели степеней сравниваются в том же направлении:

\( 3-x \le \frac{2}{x} \)

Перенесём всё в одну часть:

\( 3-x - \frac{2}{x} \le 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{3x - x^2 - 2}{x} \le 0 \)

\( \frac{-x^2 + 3x - 2}{x} \le 0 \)

Умножим числитель и знаменатель на -1, меняя знак неравенства:

\( \frac{x^2 - 3x + 2}{x} \ge 0 \)

Разложим квадратный трёхчлен в числителе на множители:

\( x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \)

Получим:

\( \frac{(x-1)(x-2)}{x} \ge 0 \)

Решим методом интервалов. Корни числителя: \( x=1, x=2 \). Корень знаменателя: \( x=0 \).

Проверим знаки на интервалах:

• \( x < 0 \): \( \frac{(-)(-)}{(-)} = (-) \)
• \( 0 < x < 1 \): \( \frac{(-)(-)}{+} = (+) \)
• \( 1 < x < 2 \): \( \frac{(+)(-)}{+} = (-) \)
• \( x > 2 \): \( \frac{(+)(+)}{+} = (+) \)

Нам нужно \( \ge 0 \). Учитывая, что \( x
e 0 \), а \( x=1, x=2 \) могут быть решением:

\( x \in (0, 1] \cup [2, \infty) \)

Ответ: \( x \in (0, 1] \cup [2, \infty) \).