17.Решить неравенство: 1) (4/5)^(3-x) <= (1,25)^(-2/x)

Решение:

Представим \( 1,25 \) в виде дроби: \( 1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4} \).

Тогда неравенство примет вид: \( \left(\frac{4}{5}\right)^{3-x} \le \left(\frac{5}{4}\right)^{-2/x} \)

Заметим, что \( \frac{5}{4} = \left(\frac{4}{5}\right)^{-1} \).

Подставим это в неравенство:

\( \left(\frac{4}{5}\right)^{3-x} \le \left(\left(\frac{4}{5}\right)^{-1}\right)^{-2/x} \)

\( \left(\frac{4}{5}\right)^{3-x} \le \left(\frac{4}{5}\right)^{2/x} \)

Так как основание степени \( \frac{4}{5} < 1 \), при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

\( 3-x \ge \frac{2}{x} \)

Перенесём всё в одну часть:

\( 3-x - \frac{2}{x} \ge 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{3x - x^2 - 2}{x} \ge 0 \)

\( \frac{-x^2 + 3x - 2}{x} \ge 0 \)

Умножим числитель и знаменатель на -1, поменяв знак неравенства:

\( \frac{x^2 - 3x + 2}{x} \le 0 \)

Разложим квадратный трёхчлен в числителе на множители:

\( x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \)

Получим:

\( \frac{(x-1)(x-2)}{x} \le 0 \)

Решим методом интервалов. Корни числителя: \( x=1, x=2 \). Корень знаменателя: \( x=0 \). Расставим точки на числовой оси: 0, 1, 2.

Проверим знаки на интервалах:

• \( x < 0 \): \( \frac{(-)(-)}{(-)} = (-) \)
• \( 0 < x < 1 \): \( \frac{(-)(-)}{+} = (+) \)
• \( 1 < x < 2 \): \( \frac{(+)(-)}{+} = (-) \)
• \( x > 2 \): \( \frac{(+)(+)}{+} = (+) \)

Нам нужно \( \le 0 \). Учитывая, что знаменатель не может быть равен нулю (\( x
e 0 \)), а числитель может быть равен нулю (\( x=1, x=2 \)), получаем:

\( x \in (-\infty, 0) \cup [1, 2] \)

Ответ: \( x \in (-\infty, 0) \cup [1, 2] \).