17.Решить неравенство: 5) (1/9)^(2+x) <= 9^(3/x)

Решение:

Заметим, что \( \frac{1}{9} = 9^{-1} \).

Неравенство примет вид:

\( (9^{-1})^{2+x} \le 9^{3/x} \)

\( 9^{-(2+x)} \le 9^{3/x} \)

\( 9^{-2-x} \le 9^{3/x} \)

Так как основание степени \( 9 > 1 \), показатели степеней сравниваются в том же направлении:

\( -2-x \le \frac{3}{x} \)

Перенесём всё в одну часть:

\( -2-x - \frac{3}{x} \le 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{-2x - x^2 - 3}{x} \le 0 \)

\( \frac{-x^2 - 2x - 3}{x} \le 0 \)

Умножим числитель и знаменатель на -1, меняя знак неравенства:

\( \frac{x^2 + 2x + 3}{x} \ge 0 \)

Рассмотрим квадратный трёхчлен \( x^2 + 2x + 3 \). Найдем его дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \]

Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен (равен 1), то \( x^2 + 2x + 3 > 0 \) для всех \( x \).

Поэтому неравенство \( \frac{x^2 + 2x + 3}{x} \ge 0 \) сводится к \( \frac{+}{x} \ge 0 \).

Это выполняется, когда \( x > 0 \).

Ответ: \( x \in (0, \infty) \).