17.Решить неравенство: 4) (0,2)^(2-x) <= 5^(3/x)

Решение:

Представим \( 0,2 \) как \( \frac{1}{5} \) или \( 5^{-1} \).

Неравенство примет вид:

\( (5^{-1})^{2-x} \le 5^{3/x} \)

\( 5^{-(2-x)} \le 5^{3/x} \)

\( 5^{x-2} \le 5^{3/x} \)

Так как основание степени \( 5 > 1 \), показатели степеней сравниваются в том же направлении:

\( x-2 \le \frac{3}{x} \)

Перенесём всё в одну часть:

\( x-2 - \frac{3}{x} \le 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{x(x-2) - 3}{x} \le 0 \)

\( \frac{x^2 - 2x - 3}{x} \le 0 \)

Разложим квадратный трёхчлен в числителе на множители:

\( x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1) \)

Получим:

\( \frac{(x-3)(x+1)}{x} \le 0 \)

Решим методом интервалов. Корни числителя: \( x=3, x=-1 \). Корень знаменателя: \( x=0 \). Расставим точки на числовой оси: -1, 0, 3.

Проверим знаки на интервалах:

• \( x < -1 \): \( \frac{(-)(-)}{(-)} = (-) \)
• \( -1 < x < 0 \): \( \frac{(-)(+)}{(-)} = (+) \)
• \( 0 < x < 3 \): \( \frac{(-)(+)}{+} = (-) \)
• \( x > 3 \): \( \frac{(+)(+)}{+} = (+) \)

Нам нужно \( \le 0 \). Учитывая, что \( x
e 0 \), а числитель может быть равен нулю (\( x=-1, x=3 \)), получаем:

\( x \in (-\infty, -1] \cup (0, 3] \)

Ответ: \( x \in (-\infty, -1] \cup (0, 3] \).