17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию у=1/3х3+х2-3х на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Решение:

Дана функция \( y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x \).

1. Находим производную функции:

\( y' = (\frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x)' \)

\( y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x - 3 \)

\( y' = x^2 + 2x - 3 \)

2. Находим точки, в которых производная равна нулю (критические точки):

\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

\( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( \sqrt{D} = 4 \)

\( x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 1 \).

3. Определяем знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

Интервалы: \( (-\infty; -3) \), \( (-3; 1) \), \( (1; +\infty) \).

Выберем тестовые точки:

• Возьмем \( x = -4 \) (из \( (-\infty; -3) \)): \( y'(-4) = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 \) (производная положительна, функция возрастает).
• Возьмем \( x = 0 \) (из \( (-3; 1) \)): \( y'(0) = 0^2 + 2(0) - 3 = -3 \) (производная отрицательна, функция убывает).
• Возьмем \( x = 2 \) (из \( (1; +\infty) \)): \( y'(2) = 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \) (производная положительна, функция возрастает).

4. Определяем промежутки возрастания и убывания:

• Функция возрастает на интервалах \( (-\infty; -3] \) и \( [1; +\infty) \).
• Функция убывает на интервале \( [-3; 1] \).

5. Находим точки экстремума:

\( x = -3 \) — точка минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с '-' на '+'.

\( x = 1 \) — точка максимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с '+' на '-'.

Найдем значения функции в точках экстремума:

При \( x = -3 \): \( y(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) = \frac{1}{3}(-27) + 9 + 9 = -9 + 9 + 9 = 9 \). Точка минимума: \( (-3; 9) \).

При \( x = 1 \): \( y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1 - 6}{3} = -\frac{5}{3} \). Точка максимума: \( (1; -\frac{5}{3}) \).

Ответ:

• Функция возрастает на \( (-\infty; -3] \) и \( [1; +\infty) \).
• Функция убывает на \( [-3; 1] \).
• Точка минимума: \( (-3; 9) \).
• Точка максимума: \( (1; -\frac{5}{3}) \).