15. (3 балла) Решите уравнение: √x² + 2x + 10 = 2x - 1

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt{x^2 + 2x + 10} = 2x - 1 \) необходимо возвести обе части уравнения в квадрат. При этом нужно учесть условие, что выражение под корнем неотрицательно (что всегда выполняется для \( x^2 + 2x + 10 \), так как дискриминант \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36 < 0 \) и ветви параболы направлены вверх) и что правая часть уравнения должна быть неотрицательной:

\( 2x - 1 \ge 0 \) \( \Rightarrow \) \( 2x \ge 1 \) \( \Rightarrow \) \( x \ge \frac{1}{2} \)

Теперь возведем обе части в квадрат:

\( (\sqrt{x^2 + 2x + 10})^2 = (2x - 1)^2 \)

\( x^2 + 2x + 10 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 \)

\( x^2 + 2x + 10 = 4x^2 - 4x + 1 \)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 4x^2 - x^2 - 4x - 2x + 1 - 10 = 0 \)

\( 3x^2 - 6x - 9 = 0 \)

Разделим все члены уравнения на 3:

\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{16} = 4 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Теперь проверим полученные корни на соответствие условию \( x \ge \frac{1}{2} \).

Корень \( x_1 = 3 \) удовлетворяет условию \( 3 \ge \frac{1}{2} \).

Корень \( x_2 = -1 \) не удовлетворяет условию \( -1 < \frac{1}{2} \).

Таким образом, единственным решением уравнения является \( x = 3 \).

Ответ: 3.