17. (2 балла) Решите систему уравнений \(\begin{cases} y - x = 7 \\ 3^x \cdot 3^{2(y-1)} = 27 \end{cases}\)

Шаг 1: Упростим второе уравнение.

Используем свойства степеней: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ и $$(a^m)^n = a^{m \times n}$$.

$$3^x \cdot 3^{2y-2} = 3^3$$

$$3^{x + 2y - 2} = 3^3$$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$$x + 2y - 2 = 3$$

$$x + 2y = 5$$

Шаг 2: Получаем систему линейных уравнений:

\(\begin{cases} y - x = 7 \\ x + 2y = 5 \end{cases}\)

Шаг 3: Решим систему методом подстановки или сложения. Воспользуемся методом сложения.

Из первого уравнения выразим $$y$$: $$y = x + 7$$.

Подставим во второе уравнение:

$$x + 2(x + 7) = 5$$

$$x + 2x + 14 = 5$$

$$3x = 5 - 14$$

$$3x = -9$$

$$x = -3$$

Шаг 4: Найдем $$y$$.

Подставим $$x = -3$$ в уравнение $$y = x + 7$$:

$$y = -3 + 7$$

$$y = 4$$

Шаг 5: Проверка.

Подставим $$x = -3$$ и $$y = 4$$ в исходные уравнения:

Первое: $$4 - (-3) = 4 + 3 = 7$$ (Верно).

Второе: $$3^{-3} \cdot 3^{2(4-1)} = 3^{-3} \cdot 3^{2(3)} = 3^{-3} \cdot 3^6 = 3^{-3+6} = 3^3 = 27$$ (Верно).

Ответ: $$x = -3$$, $$y = 4$$