14. (1 балл) Найдите наибольшее значение функции $$f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 29$$ на отрезке [-1; 4].

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно вычислить значения функции в критических точках (где производная равна нулю или не существует) и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции:

   $$f'(x) = (-x^3 + 3x^2 + 9x - 29)' = -3x^2 + 6x + 9$$

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

   $$-3x^2 + 6x + 9 = 0$$

   Разделим на -3:

   $$x^2 - 2x - 3 = 0$$

   Решим квадратное уравнение (можно по теореме Виета):

   $$x1 + x2 = 2$$, $$x1 * x2 = -3$$

   Корни: $$x1 = 3$$, $$x2 = -1$$. Оба корня входят в отрезок [-1; 4].

3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:
   • При $$x = -1$$: $$f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1)^2 + 9(-1) - 29 = -(-1) + 3(1) - 9 - 29 = 1 + 3 - 9 - 29 = 4 - 38 = -34$$.
   • При $$x = 3$$: $$f(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 + 9(3) - 29 = -27 + 3(9) + 27 - 29 = -27 + 27 + 27 - 29 = -2$$.
   • При $$x = 4$$: $$f(4) = -(4)^3 + 3(4)^2 + 9(4) - 29 = -64 + 3(16) + 36 - 29 = -64 + 48 + 36 - 29 = -16 + 7 = -9$$.
4. Сравним полученные значения: -34, -2, -9.

Наибольшее значение равно -2.

Ответ: -2