16. Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 42, а боковые рёбра равны 29. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение:

Правильная треугольная пирамида имеет в основании равносторонний треугольник. Боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней. Так как боковые грани равны, площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

\( S_{бок} = \frac{1}{2} · P_{осн} · h_{бок} \)

где \( P_{осн} \) — периметр основания, \( h_{бок} \) — апофема (высота боковой грани).

1. Найдем периметр основания:

Основание — равносторонний треугольник со стороной \( a = 42 \).

\( P_{осн} = 3 · a = 3 · 42 = 126 \).

2. Найдем апофему \( h_{бок} \).

Рассмотрим одну из боковых граней — равнобедренный треугольник. Основание этого треугольника равно стороне основания пирамиды \( a = 42 \), а боковые стороны равны боковым ребрам пирамиды \( b = 29 \).

Апофема \( h_{бок} \) является высотой этого равнобедренного треугольника. Она делит основание пополам. Получим два прямоугольных треугольника с катетами \( \frac{a}{2} \) и \( h_{бок} \), и гипотенузой \( b \).

\( \frac{a}{2} = \frac{42}{2} = 21 \).

По теореме Пифагора:

\( h_{бок}^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2 \)

\( h_{бок}^2 + 21^2 = 29^2 \)

\( h_{бок}^2 + 441 = 841 \)

\( h_{бок}^2 = 841 - 441 \)

\( h_{бок}^2 = 400 \)

\( h_{бок} = √{400} = 20 \).

3. Найдем площадь боковой поверхности:

\( S_{бок} = \frac{1}{2} · P_{осн} · h_{бок} = \frac{1}{2} · 126 · 20 \)

\( S_{бок} = 63 · 20 = 1260 \).

Ответ: 1260