15*. В стозначном числе 12345678901234567890...1234567890 вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах. В полученном пятидесятизначном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечётных местах. Вычёркивание продолжалось до тех пор, пока ничего не осталось. Какая цифра была вычеркнута последней?

Решение:

Исходное число стозначное: 1234567890...1234567890. Цифры повторяются каждые 10 знаков.

Первый этап: Вычеркиваем цифры на нечетных местах (1, 3, 5, ..., 99). Остаются цифры на четных местах (2, 4, 6, ..., 100).

Исходное число: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ...

Остаются: 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 ...

Получилось 50 цифр. В числе 1234567890, последние цифры: 2, 4, 6, 8, 0.

Второй этап: В полученном 50-значном числе вычеркиваем цифры на нечетных местах (1, 3, 5, ..., 49).

Остаются цифры на четных местах (2, 4, 6, ..., 50).

Число: 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 ...

Остаются: 4 8 2 6 0 4 8 2 6 0 ...

Получилось 25 цифр.

Третий этап: В полученном 25-значном числе вычеркиваем цифры на нечетных местах (1, 3, ..., 25).

Остаются цифры на четных местах (2, 4, ..., 24).

Число: 4 8 2 6 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6 0

Остаются: 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8

Получилось 12 цифр (25 - 13 = 12, последняя цифра 25-я, она вычеркивается. Значит, остаются 24 цифры, из них половина - 12).

Четвертый этап: В полученном 12-значном числе вычеркиваем цифры на нечетных местах (1, 3, ..., 11).

Остаются цифры на четных местах (2, 4, ..., 12).

Число: 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6

Остаются: 6 6 6 6 6 6

Получилось 6 цифр.

Пятый этап: В полученном 6-значном числе вычеркиваем цифры на нечетных местах (1, 3, 5).

Остаются цифры на четных местах (2, 4, 6).

Число: 6 6 6 6 6 6

Остаются: 6 6 6

Получилось 3 цифры.

Шестой этап: В полученном 3-значном числе вычеркиваем цифры на нечетных местах (1, 3).

Остается цифра на четном месте (2).

Число: 6 6 6

Остается: 6

Получилась 1 цифра. Этот этап - последний. Вычеркивали цифры на нечетных местах (1 и 3), осталась цифра на 2-м месте. Она и есть последняя вычеркнутая цифра (т.к. после нее ничего не осталось).

Седьмой этап: Осталась одна цифра 6. Ее тоже вычеркивают, чтобы ничего не осталось.

Последней вычеркнутой цифрой будет та, которая осталась после предыдущего этапа, а затем была вычеркнута.

Проследим по цифрам:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 | ...

Этап 1 (вычеркнули 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, ...): Остались 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 ...

Этап 2 (вычеркнули 2, 6, 0, 4, 8, ...): Остались 4 8 2 6 0 4 8 2 6 0 ...

Этап 3 (вычеркнули 4, 2, 0, 8, 6, ...): Остались 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 8 6 ... (12 цифр)

Этап 4 (вычеркнули 8, 8, 8, 8, 8, 8): Остались 6 6 6 6 6 6 ... (6 цифр)

Этап 5 (вычеркнули 6, 6, 6): Остались 6 6 6 ... (3 цифры)

Этап 6 (вычеркнули 6, 6): Осталась 6 ... (1 цифра)

Этап 7: Осталась 6. Она вычеркивается, так как ничего не должно остаться.

Таким образом, последняя вычеркнутая цифра — 6.

Ответ: 6.