14. Найдите последнюю цифру суммы 20 слагаемых: 1·5 + 2·6 + 3·7 + ... + 19·23 + 20·24 (Всю сумму искать не нужно!!!).

Решение:

Найдем последнюю цифру каждого слагаемого.

Первое слагаемое: \(1 \cdot 5 = 5\). Последняя цифра — 5.

Второе слагаемое: \(2 \cdot 6 = 12\). Последняя цифра — 2.

Третье слагаемое: \(3 \cdot 7 = 21\). Последняя цифра — 1.

Четвертое слагаемое: \(4 \cdot 8 = 32\). Последняя цифра — 2.

Пятое слагаемое: \(5 \cdot 9 = 45\). Последняя цифра — 5.

Шестое слагаемое: \(6 \cdot 10 = 60\). Последняя цифра — 0.

Седьмое слагаемое: \(7 \cdot 11 = 77\). Последняя цифра — 7.

Восьмое слагаемое: \(8 \cdot 12 = 96\). Последняя цифра — 6.

Девятое слагаемое: \(9 \cdot 13 = 117\). Последняя цифра — 7.

Десятое слагаемое: \(10 \cdot 14 = 140\). Последняя цифра — 0.

Одиннадцатое слагаемое: \(11 \cdot 15 = 165\). Последняя цифра — 5.

Двенадцатое слагаемое: \(12 \cdot 16 = 192\). Последняя цифра — 2.

Тринадцатое слагаемое: \(13 \cdot 17 = 221\). Последняя цифра — 1.

Четырнадцатое слагаемое: \(14 \cdot 18 = 252\). Последняя цифра — 2.

Пятнадцатое слагаемое: \(15 \cdot 19 = 285\). Последняя цифра — 5.

Шестнадцатое слагаемое: \(16 \cdot 20 = 320\). Последняя цифра — 0.

Семнадцатое слагаемое: \(17 \cdot 21 = 357\). Последняя цифра — 7.

Восемнадцатое слагаемое: \(18 \cdot 22 = 396\). Последняя цифра — 6.

Девятнадцатое слагаемое: \(19 \cdot 23 = 437\). Последняя цифра — 7.

Двадцатое слагаемое: \(20 \cdot 24 = 480\). Последняя цифра — 0.

Теперь найдем последнюю цифру суммы этих последних цифр:

5 + 2 + 1 + 2 + 5 + 0 + 7 + 6 + 7 + 0 + 5 + 2 + 1 + 2 + 5 + 0 + 7 + 6 + 7 + 0

Сгруппируем для удобства:

(5+2+1+2+5) + (0+7+6+7+0) + (5+2+1+2+5) + (0+7+6+7+0)

20-е слагаемое: \(20 \times 24\rightarrow 0 \times 4 = 0\text{ (последняя цифра)}\)

19-е слагаемое: \(19 \times 23\rightarrow 9 \times 3 = 27 \rightarrow 7\text{ (последняя цифра)}\)

18-е слагаемое: \(18 \times 22\rightarrow 8 \times 2 = 16 \rightarrow 6\text{ (последняя цифра)}\)

17-е слагаемое: \(17 \times 21\rightarrow 7 \times 1 = 7\text{ (последняя цифра)}\)

16-е слагаемое: \(16 \times 20\rightarrow 6 \times 0 = 0\text{ (последняя цифра)}\)

15-е слагаемое: \(15 \times 19\rightarrow 5 \times 9 = 45 \rightarrow 5\text{ (последняя цифра)}\)

14-е слагаемое: \(14 \times 18\rightarrow 4 \times 8 = 32 \rightarrow 2\text{ (последняя цифра)}\)

13-е слагаемое: \(13 \times 17\rightarrow 3 \times 7 = 21 \rightarrow 1\text{ (последняя цифра)}\)

12-е слагаемое: \(12 \times 16\rightarrow 2 \times 6 = 12 \rightarrow 2\text{ (последняя цифра)}\)

11-е слагаемое: \(11 \times 15\rightarrow 1 \times 5 = 5\text{ (последняя цифра)}\)

10-е слагаемое: \(10 \times 14\rightarrow 0 \times 4 = 0\text{ (последняя цифра)}\)

9-е слагаемое: \(9 \times 13\rightarrow 9 \times 3 = 27 \rightarrow 7\text{ (последняя цифра)}\)

8-е слагаемое: \(8 \times 12\rightarrow 8 \times 2 = 16 \rightarrow 6\text{ (последняя цифра)}\)

7-е слагаемое: \(7 \times 11\rightarrow 7 \times 1 = 7\text{ (последняя цифра)}\)

6-е слагаемое: \(6 \times 10\rightarrow 6 \times 0 = 0\text{ (последняя цифра)}\)

5-е слагаемое: \(5 \times 9\rightarrow 5 \times 9 = 45 \rightarrow 5\text{ (последняя цифра)}\)

4-е слагаемое: \(4 \times 8\rightarrow 4 \times 8 = 32 \rightarrow 2\text{ (последняя цифра)}\)

3-е слагаемое: \(3 \times 7\rightarrow 3 \times 7 = 21 \rightarrow 1\text{ (последняя цифра)}\)

2-е слагаемое: \(2 \times 6\rightarrow 2 \times 6 = 12 \rightarrow 2\text{ (последняя цифра)}\)

1-е слагаемое: \(1 \times 5\rightarrow 1 \times 5 = 5\text{ (последняя цифра)}\)

Суммируем последние цифры:

\(5 + 2 + 1 + 2 + 5 + 0 + 7 + 6 + 7 + 0 + 5 + 2 + 1 + 2 + 5 + 0 + 7 + 6 + 7 + 0 = 70\)

Последняя цифра суммы 70 — это 0.

Ответ: 0.