14. Вычислите определенный интеграл: ∫₀⁻¹ (x² - 2x)(3 - 2x) : (x - 2)dx

Решение:

Интеграл:

\[ \int_{-1}^{0} \frac{(x^2 - 2x)(3 - 2x)}{x - 2} dx \]

Упростим выражение под интегралом:

1. Числитель: \( (x^2 - 2x)(3 - 2x) = x(x - 2)(3 - 2x) \).
2. Сократим \( (x - 2) \) в числителе и знаменателе (при \( x \neq 2 \), что выполняется на интервале интегрирования \( [-1, 0] \)): \( x(3 - 2x) = 3x - 2x^2 \).

Теперь интеграл выглядит проще:

\[ \int_{-1}^{0} (3x - 2x^2) dx \]

Найдем первообразную:

1. Первообразная для \( 3x \) равна \( \frac{3x^2}{2} \).
2. Первообразная для \( -2x^2 \) равна \( -\frac{2x^3}{3} \).
3. Первообразная \( F(x) = \frac{3x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} \).

Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \):

1. \( F(0) = \frac{3(0)^2}{2} - \frac{2(0)^3}{3} = 0 - 0 = 0 \).
2. \( F(-1) = \frac{3(-1)^2}{2} - \frac{2(-1)^3}{3} = \frac{3(1)}{2} - \frac{2(-1)}{3} = \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \).
3. Приведём к общему знаменателю: \( F(-1) = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{9}{6} + \frac{4}{6} = \frac{13}{6} \).
4. \( \int_{-1}^{0} (3x - 2x^2) dx = F(0) - F(-1) = 0 - \frac{13}{6} = -\frac{13}{6} \).

Ответ: \( -\frac{13}{6} \).