14. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

Решение:

Рассмотрим, как строится «змейка» и как изменяется длина звеньев.

Рисунок показывает, что «змейка» строится по спирали, двигаясь по линиям сетки. Длина каждого следующего звена увеличивается. Проследим закономерность:

• 1-е звено: длина 1
• 2-е звено: длина 2
• 3-е звено: длина 3
• ...
• n-е звено: длина n

В задаче сказано, что в первом случае последнее звено имеет длину 10. Это значит, что ломаная состоит из 10 звеньев. Длина этой ломаной — это сумма длин всех звеньев от 1 до 10.

Длина ломаной = \(1 + 2 + 3 + \dots + 10\)

Это сумма арифметической прогрессии. Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\), где \(a_1\) — первый член, \(a_n\) — последний член, \(n\) — количество членов.

В данном случае \(a_1 = 1\), \(a_{10} = 10\), \(n = 10\).

Длина = \(\frac{(1 + 10) \cdot 10}{2} = \frac{11 \cdot 10}{2} = \frac{110}{2} = 55\)

Во втором случае последнее звено имеет длину 120. Это означает, что ломаная состоит из 120 звеньев.

Длина ломаной = \(1 + 2 + 3 + \dots + 120\)

Здесь \(a_1 = 1\), \(a_{120} = 120\), \(n = 120\).

Длина = \(\frac{(1 + 120) \cdot 120}{2} = \frac{121 \cdot 120}{2}\)

\(120 / 2 = 60\)

Длина = \(121 \cdot 60\)

\(121 \cdot 60 = 121 \cdot 6 \cdot 10 = 726 \cdot 10 = 7260\)

Ответ: 7260