14. Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочил. Мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 11 см?

Решение:

Обозначим высоту первого прыжка как \( h_1 = 5.4 \) м.

Высота каждого следующего прыжка в 3 раза меньше предыдущей. Это геометрическая прогрессия с первым членом \( h_1 = 5.4 \) м и знаменателем \( q = \frac{1}{3} \).

Формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии: \( h_n = h_1 \cdot q^{n-1} \).

Нам нужно найти такой \( n \), при котором \( h_n < 11 \) см. Переведём метры в сантиметры: \( 5.4 \text{ м} = 540 \text{ см} \), \( 11 \text{ см} \).

Итак, \( h_1 = 540 \) см.

Неравенство: \( 540 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 11 \).

Разделим обе части на 540:

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{11}{540} \]\[ \frac{1}{3^{n-1}} < \frac{11}{540} \]\[ 3^{n-1} > \frac{540}{11} \]\[ 3^{n-1} > 49.09 \]

Подберём значения \( n \):

• При \( n = 1 \): \( 3^{1-1} = 3^0 = 1 \) (не больше 49.09)
• При \( n = 2 \): \( 3^{2-1} = 3^1 = 3 \) (не больше 49.09)
• При \( n = 3 \): \( 3^{3-1} = 3^2 = 9 \) (не больше 49.09)
• При \( n = 4 \): \( 3^{4-1} = 3^3 = 27 \) (не больше 49.09)
• При \( n = 5 \): \( 3^{5-1} = 3^4 = 81 \) (больше 49.09)

Таким образом, при \( n=5 \) высота прыжка впервые станет меньше 11 см.

Ответ: 5