13 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4√3, а длина бокового ребра равна √43. Найдите объём пирамиды.

Решение:

Объем пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн}  h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота пирамиды.

1. Площадь основания:

Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной \( a = 4\sqrt{3} \). Площадь правильного треугольника равна \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \).

\[ S_{осн} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(16 \cdot 3) \sqrt{3}}{4} = \frac{48 \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3} \]

2. Высота пирамиды:

Для нахождения высоты пирамиды \( h \) используем теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и радиусом описанной окружности основания. Боковое ребро \( l = \sqrt{43} \).

Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной \( a \) равен \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

\[ R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \]

Теперь найдем высоту \( h \):

\[ l^2 = h^2 + R^2 \]\[ (\sqrt{43})^2 = h^2 + 4^2 \]\[ 43 = h^2 + 16 \]\[ h^2 = 43 - 16 \]\[ h^2 = 27 \]\[ h = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]

3. Объем пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} (12\sqrt{3}) (3\sqrt{3}) \]\[ V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 3 \cdot 3 = 12 \cdot 3 = 36 \]

Ответ: 36.