13. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 9 (см. рис. 1). Найдите его периметр.

Решение:

Пусть дан параллелограмм ABCD, где AB = CD и BC = AD. Точка E — точка пересечения биссектрис углов A и B. По условию, точка E лежит на стороне CD.

Так как AE — биссектриса угла A, а DE — биссектриса угла D (углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°, а биссектрисы делят их пополам, значит, сумма углов между биссектрисой и стороной CD равна 90°).

Рассмотрим треугольник ADE. Угол DAE = угол BAE (потому что AE — биссектриса). Угол BAE = угол ADE (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AE). Следовательно, угол DAE = угол ADE. Треугольник ADE — равнобедренный, значит, AD = DE.

Аналогично, рассмотрим треугольник BCE. Угол CBE = угол ABE (потому что BE — биссектриса). Угол ABE = угол BCE (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BE). Следовательно, угол CBE = угол BCE. Треугольник BCE — равнобедренный, значит, BC = CE.

Мы знаем, что E лежит на стороне CD, поэтому CD = DE + CE. Так как AD = DE и BC = CE, то CD = AD + BC. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому AB = CD и AD = BC.

Следовательно, AB = AD + BC. Но AB = AD, значит, AD = AD + BC, откуда BC = 0, что невозможно. Следовательно, E лежит на стороне CD, но не на концах. У нас AD = DE и BC = CE.

Тогда CD = DE + CE = AD + BC. Так как CD = AB и AD = BC, то AB = AD + AD = 2AD.

По условию, меньшая сторона параллелограмма равна 9. Обозначим меньшую сторону за 'a', а большую за 'b'.

Если меньшая сторона — это AD (и BC), то AD = 9. Тогда AB = 2 * 9 = 18. Большей стороной будет AB = 18.

Периметр параллелограмма P = 2(a + b) = 2(9 + 18) = 2 * 27 = 54.

Если меньшая сторона — это AB (и CD), то AB = 9. Тогда 9 = 2AD, значит AD = 4.5. Но AB — меньшая сторона, а 4.5 < 9, что противоречит условию. Следовательно, меньшая сторона — это AD.

Ответ: 54.