13. Среди радиоактивных загрязнений, вызванных аварией на Чернобыльской АЭС, наиболее опасными являются долгоживущие продукты деления, такие как стронций-90 и цезий-137. Вычислите, сколько времени должно пройти к моменту, когда активность этих загрязнений уменьшится в 10 раз? Периоды полураспада стронция-90 28 лет, цезия-137 30 лет.

Решение:

Активность \( A \) прямо пропорциональна количеству радиоактивных ядер \( N \), так что уменьшение активности в 10 раз означает и уменьшение числа ядер в 10 раз.

Формула распада: \( N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} \).

Нам нужно найти \( t \), когда \( N = N_0/10 \).

\( \frac{N_0}{10} = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} \)

\( \frac{1}{10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} \)

Логарифмируем обе части по основанию 10:

\( \log_{10}(0.1) = \log_{10}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}\right) \)

\( -1 = \frac{t}{T_{1/2}} \log_{10}(0.5) \)

\( -1 = \frac{t}{T_{1/2}} \times (-0.301) \)

\( t = \frac{-1}{-0.301} \times T_{1/2} \approx 3.32 \times T_{1/2} \).

Для стронция-90 (T_1/2 = 28 лет):

\( t = 3.32 \times 28 \text{ лет} \approx 92.96 \) лет.

Для цезия-137 (T_1/2 = 30 лет):

\( t = 3.32 \times 30 \text{ лет} \approx 99.6 \) лет.

Ответ: Активность стронция-90 уменьшится в 10 раз примерно через 93 года, а цезия-137 — примерно через 100 лет.