№12. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60°, пересекает сторону BC в точке М. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 5.

Решение:

1. Угол BAM = Угол DAM = 60° / 2 = 30° (по условию AM — биссектриса).
2. Угол AMD = 90° (по условию DM ⊥ AM).
3. Рассмотрим треугольник AMD. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Угол ADM = 180° - 90° - 30° = 60°.
4. В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD = 5.
5. Рассмотрим треугольник ABM. Угол B = 180° - Угол A = 180° - 60° = 120°. Угол BAM = 30°. Угол AMB = 180° - 120° - 30° = 30°.
6. Так как в треугольнике ABM углы BAM и AMB равны 30°, то треугольник ABM равнобедренный с основанием AB. Следовательно, AB = BM = 5.
7. Так как ABCD — параллелограмм, BC = AD.
8. Рассмотрим треугольник AMD. Угол DAM = 30°, Угол ADM = 60°, Угол AMD = 90°.
9. В прямоугольном треугольнике AMD, катет BM = 5 лежит против угла DAM = 30°.
10. Катет AD (гипотенуза) = 2 * BM = 2 * 5 = 10.
11. Значит, BC = AD = 10.
12. Периметр параллелограмма = 2 * (AB + BC) = 2 * (5 + 10) = 2 * 15 = 30.

Ответ: 30